当前位置: 首页 > news >正文

反常积分敛散性的比较判别法专题(及常用反常积分)

反常积分敛散性的比较判别法

文章目录

  • 1.比较判别法的一般形式
  • 2.比较判别法的极限形式
  • 3.常用结论
    • ①常用反常积分一(p积分)
    • ②常用反常积分二(q积分)
    • ③常用反常积分三
    • ④常用反常积分四


1.比较判别法的一般形式

f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x) [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+)连续,且 0 < f ( x ) ≤ g ( x ) 0<f(x)≤g(x) 0<f(x)g(x)。则

    若 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx a+g(x)dx收敛,则有 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx a+f(x)dx收敛;

    若 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx a+f(x)dx发散,则有 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx a+g(x)dx发散。


     在这里插入图片描述


2.比较判别法的极限形式

f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x) [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+)非负连续 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = λ \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda x+limg(x)f(x)=λ,则

    若 λ > 0 \lambda>0 λ>0,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx a+f(x)dx ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx a+g(x)dx敛散性相同。

    若 λ = 0 \lambda=0 λ=0,且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx a+g(x)dx收敛,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx a+f(x)dx 收敛。

    若 λ = + ∞ \lambda=+\infty λ=+,且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx a+g(x)dx发散,则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx a+f(x)dx 发散。


3.常用结论

①常用反常积分一(p积分)

    对反常积分 ∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx a+xp1dx,(a>0)

    若 p > 1 p>1 p>1,则该反常积分收敛;

    若 p ≤ 1 p≤1 p1,则该反常积分发散。


②常用反常积分二(q积分)

    对反常积分 ∫ a b 1 ( x − a ) q d x \int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx ab(xa)q1dx,(a>0)

    若 q < 1 q<1 q<1,则该反常积分收敛;

    若 q ≥ 1 q≥1 q1,则该反常积分发散。


③常用反常积分三

    对反常积分 ∫ 2 + ∞ 1 x p ln ⁡ q x d x \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}dx 2+xplnqx1dx

    若 P > 1 P>1 P>1,则对任意q该反常积分都收敛;

    若 P < 1 P<1 P1,则对任意q该反常积分都发散;

    若 P = 1 P=1 P=1,则q>1时该反常积分收敛,q<1时该反常积分发散。


④常用反常积分四

∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\pi +ex2dx=π


对于一般的多数反常积分,如果可以化成p积分或q积分的形式,则化成即可再判断敛散性。

如果不能,则先尽可能地化简,然后选择合适的p积分或q积分,将其与之进行比较即可。


相关文章:

  • 易时代网站/网站建站模板
  • 义乌市建设局网站/百度风云榜
  • 做自媒体必备的8个网站/长春seo推广
  • ps做网站画布大小是多少/谷歌seo服务
  • 股票场外期权网站开发/seo营销软件
  • 宁波企业网站搭建图片/百度视频
  • pythond大屏可视化
  • 知识图谱-生物信息学-医学论文(Chip-2022)-BCKG-基于临床指南的中国乳腺癌知识图谱的构建与应用
  • 力扣 每日一题 902. 最大为 N 的数字组合【难度:困难,rating: 1989】(数学 / 数位dp)
  • 奇迹mu服务器安全和优化设置
  • OC 基础 导航栏UITabBarController的使用(源码)
  • 人脸识别项目FFmpeg+OpenCV+虹软SDK
  • ITRS 与 GCRS 之间的坐标转换
  • 【图像重建】基于matlab SIDER算法图像压缩重建【含Matlab源码 2170期】
  • 多线程同步-条件变量
  • JS(第八课)循环语句中常用到的案例
  • 2022软考高项十大领域知识整理(四)-人力资源管理、干系人管理、采购管理
  • 深度学习基础之BatchNorm和LayerNorm